I 1907 udgjorde den engelske forfatter og matematiker Henry Ernest Dudeneney et puslespil: Kan enhver ligesidet trekant skæres i så få stykker som muligt, der passer sammen for at danne et perfekt firkant? Fire uger senere præsenterede han en elegant løsning, der viste, at der kun var behov for fire stykker.
Denne proces med at omdanne en form til en anden ved at skære den første form til stykker og omarrangering af dem kaldes dissektion. En vigtig udfordring i dissektioner er at minimere antallet af stykker, der kræves for at omdanne en polygonal form til en anden, et problem, der har fascineret matematikere, puslespil og opløsere i århundreder.
Dudeneys puslespil er stadig et af de mest berømte dissektionsproblemer. Dissektionsproblemer interesserer ikke kun matematikere, men har også praktiske anvendelser inden for felter som tekstildesign, teknik og fremstilling. Siden Dudeney først stillede sin løsning for over 120 år siden, er der tilbage et dvælende spørgsmål: Er der en bedre løsning, der kræver at skære trekanten i færre end fire stykker?
I en ny undersøgelse har professor Ryuhei Uehara og adjunkt Tonan Kamata fra Japan Advanced Institute of Science and Technology (Jaist) sammen med professor Erik D. Demaine fra Massachusetts Institute of Technology besvaret dette spørgsmål. De beviste, at Dudeneys originale løsning var optimal.
“Over et århundrede senere har vi endelig løst Dudeneys puslespil ved at bevise, at den ligesidede trekant og firkant ikke har nogen fælles dissektion med tre eller færre polygonale stykker,” siger prof. Uehara. “Vi opnåede dette ved hjælp af en ny bevisteknik, der bruger matchende diagrammer.”
Deres undersøgelse blev offentliggjort som et fortryk på Open-Access Repository arxiv Den 5. december 2024 og præsenteret på den 23. LA/Eatcs-Japan Workshop om teoretisk datalogi i januar 2025.
I deres undersøgelse beviste forskerne en nøgletætning: der er ingen dissektion mellem en ligesidet trekant og en firkant med tre eller færre stykker, når brikkerne er forbudt at blive vendt. Dudeneys originale løsning involverede heller ikke flipping. For at etablere dette udelukkede forskerne først muligheden for todelt dissektion ved at analysere de geometriske begrænsninger i problemet.
Dernæst udforskede de systematisk muligheden for en tredelt dissektion. Ved hjælp af de grundlæggende egenskaber ved dissektion indsnævrede de de mulige kombinationer af skæremetoder til dissektion af trestykke. Endelig brugte de konceptet med et matchende diagram til nøje at bevise, at ingen af disse kombinationer til dissektioner med tre dele var mulige, hvilket beviser, at en dissektion mellem en firkant og en ligesidet trekant ikke kan opnås med tre eller færre stykker.
Det matchende diagram spillede en central rolle i deres bevis. I denne metode reduceres sættet med skårne stykker, der bruges i dissektionen, til en grafstruktur, der fanger forholdet mellem kanterne og hjørnets stykker og danner både trekanten og pladsen. Forskerne fandt, at denne metode ikke kun gælder for Dudeneys puslespil, men også kan anvendes generelt på andre dissektionsproblemer.
“Problemet med at skære og omarrangere former siges at have eksisteret, siden mennesker begyndte at behandle dyrehud for at fremstille tøj. Sådanne problemer opstår også i enhver situation, hvor tynde materialer bruges,” forklarer prof. Uehara. “Vores bevis åbner nye horisonter for at forstå og løse dissektionsproblemer.”
Selvom mange dissektionsproblemer er løst ved at finde løsninger med et vist antal stykker, har der aldrig været formelt bevis, der viser, at en bestemt løsning er optimal ved hjælp af de færrest mulige stykker. Teknikken udviklet i denne undersøgelse er den første til at bevise en sådan optimalitet.
“Vores teknik demonstrerer, at en optimal dissektion er mulig for den virkelige verden, der er skåret og omarrangementer. Med yderligere forfining kan det også føre til opdagelsen af helt nye løsninger på dissektionsproblemer,” afslutter prof. Uehara.