Hvilke former er lavet af en spindingsnål? Dette tilsyneladende uskyldige problem har forundret matematikere i årtier, men nu kaldes et nyt bevis det største resultat af det nuværende århundrede, da det kunne hjælpe med at løse mange andre vanskelige problemer
Den enkleste form, der spores af en spindingnål (orange), er en cirkel, men former med et mindre område er mulige, såsom deltoid (til højre), skabt ved at dreje en nål, mens dens centrale punkt sporer en cirkel
Matematikere har løst et årtier gammelt problem relateret til at spinde en nål, i det, der er blevet hyldet som et af de vigtigste matematiske resultater i nyere tid. Når den først er set som “umulig”, skal løsningen nu låse svar på en række andre vanskelige problemer, der havde virket helt uden for rækkevidde. ”Papiret er måske det største gennembrud i matematik i det nuværende århundrede,” siger Nets Katz ved Rice University i Houston, Texas.
Problemet har sin oprindelse i 1917, da den japanske matematiker Sōichi Kakeya spurgte, hvor lille en form du ville have brug for at rotere en nål gennem 360 grader, hvis du får lov til at bevæge nålen frem og tilbage i nogen retning.
En åbenlys løsning er simpelthen at dreje nålen, feje en cirkel ud, men matematikere fandt snart, at manøvrering af den på komplekse måder, der ligner at vrikke en bil frem og tilbage for at komme ind på en stram parkeringsplads, giver dig mulighed for at rotere nålen på meget mindre former (se ovenfor).
Da matematikere begyndte at udforske yderligere, fandt de nogle underlige resultater. For eksempel, hvis du skulle bruge en rigtig nål, ville dens tykkelse blive vigtig, ligesom en større bil er vanskeligere at parkere. På grund af dette overvejede matematikere spørgsmålet om en uendelig tynd nål og fandt, at området med den mindste form, der kræves for at dreje det, var nul, på trods af at nålen havde en defineret længde.
Et spørgsmål, der opstår om sådanne former, er, hvilken dimension de har. Mens traditionelle former som firkanter og terninger er henholdsvis to- og tredimensionelle, kan fremmede former som fraktaler have dimensioner, der falder et sted imellem. Et spørgsmål, der blev kendt som Kakeya -formodningen, spørger, om dimensionen af den form, der spores ud af nålens manøvrer, altid ville være den samme som det i det rum, den bevæger sig i.
”Da jeg først hørte om det, virkede det meget intuitivt,” siger Larry Guth ved Massachusetts Institute of Technology. ”Det så ud som om det må være sandt, men så viser det sig at være meget vanskeligt at bevise.”
Det var let at bevise, at den endimensionelle sag var let, fordi en nål i 1D overhovedet ikke kan rotere. Det var først i 1970’erne, at den britiske matematiker Roy Davies beviste Kakeya-formodningen for to dimensioner, men den tredimensionelle sag har modstået matematikernes bedste indsats i årtierne siden.
Nu har Joshua Zahl ved University of British Columbia og Hong Wang ved New York University knækket det, hvilket viser, at volumen, som nålen bevæger sig gennem, også skal være 3D.
”Du vil ikke lade dig blive for ophidset, fordi mange matematikere på et tidspunkt i deres liv har tænkt på, at de har løst et alvorligt problem,” siger Zahl. ”Jeg tænkte i fortiden måske løste jeg Kakeya -formodningen for en eftermiddag og indså derefter, whoops, nej, det var bare en rørdrøm.”
Katz og hans kolleger havde tidligere vist, at løsningen på Kakeya -formodningen i tre dimensioner skal være tæt på tre, men de kunne ikke kontrollere, at det var tre dimensioner nøjagtigt. De udviklede imidlertid en strategi for, hvordan du kunne bevise det, som Zahl og Wang brugte som guide. ”De pressede virkelig meget mere juice ud af denne metode, det er fantastisk,” siger Terence Tao på University of California, Los Angeles, der arbejdede med Katz.
En af mange mærkelige former produceret ved at rotere en nål
Denne strategi involverede først at forestille sig et mønster af nålbevægelser med en dimension mindre end det rum, den bevæger sig i, hvilket ville modbevise formodningen. Parret viste derefter, at disse imaginære modeksempler altid skal have ekstreme, krævende egenskaber. Zahl og Wang fandt derefter ud af, at disse egenskaber modsiger kendte, beviste sætninger-så uden at være mulige modeksempler, skal Kakeya-formodningen være sand.
”Det løser fuldstændigt et problem, der er blevet angrebet af en række teknikker af en række af de førende tal i marken, hvoraf de fleste kun opnåede beskedne delvise resultater,” siger Katz.
Udover tilfredsheden med at knække dette langvarige problem, vil det også hjælpe matematikere med at bevise relaterede problemer ved hjælp af de matematiske værktøjer udviklet af Zahl og Wang. ”I mit underfelt af analyse er det bestemt det største fremskridt på 10 år,” siger Tao. ”Denne formodning er en del af hele denne familie af problemer, der syntes umulig.”
Besvarelse af disse problemer kunne igen hjælpe med at fjerne nogle af de største spørgsmål inden for områder som generel relativitet eller harmonisk analyse, den matematiske undersøgelse af, hvordan bølger opfører sig, siger Guth. Beviset kunne endda hjælpe med at afsløre oprindelsen af primtal ved at tackle et af de mest berygtede uløste problemer i matematik, Riemann -hypotesen.
”Kakeya -formodningen er kun en lille komponent i hvad der foregår med (Riemann -hypotesen), men det var en af mange hindringer, og så nu er det væk, mange ting er nu låst op,” siger Tao. ”Jeg forudser år og år med aktivitet nu på hele dette træ med hårdere problemer i antal teori, delvis differentialligninger, kombinatorik og så videre, som netop blev betragtet som håbløse, nu synes de bare meget vanskelige.”