Når du ser på dit omgivende miljø, kan det se ud som om du lever på et fladt fly. Det er trods alt derfor, du kan navigere i en ny by ved hjælp af et kort: et fladt stykke papir, der repræsenterer alle steder omkring dig. Dette er sandsynligt, at nogle mennesker i fortiden troede, at jorden var flad. Men de fleste mennesker ved nu, at det er langt fra sandheden.
Du bor på overfladen af en kæmpe sfære, som en strandkugle på størrelse med jorden med et par stød tilføjet. Overfladen af kuglen og flyet er to mulige 2D -rum, hvilket betyder, at du kan gå i to retninger: nord og syd eller øst og vest.
Hvilke andre mulige rum kan du leve på? Det vil sige, hvilke andre rum omkring dig er 2D? For eksempel er overfladen af en kæmpe donut endnu en 2D -plads.
Gennem et felt kaldet geometrisk topologi studerer matematikere som mig alle mulige rum i alle dimensioner. Uanset om du prøver at designe sikre sensornetværk, minedata eller bruge origami til at implementere satellitter, er det underliggende sprog og ideer sandsynligvis at være topologi.
Universets form
Når du kigger rundt i det univers, du bor i, ligner det et 3D -rum, ligesom jordoverfladen ligner et 2D -rum. Men ligesom Jorden, hvis du skulle se på universet som helhed, kunne det være et mere kompliceret rum, som en kæmpe 3D -version af 2D Beach Ball Surface eller noget endnu mere eksotisk end det.
Mens du ikke har brug for topologi for at bestemme, at du lever på noget som en kæmpe strandbold, kan det være nyttigt at kende alle mulige 2D -rum. For over et århundrede siden regnede matematikere ud af alle de mulige 2D -rum og mange af deres egenskaber.
I de sidste flere årtier har matematikere lært meget om alle de mulige 3D -rum. Selvom vi ikke har en fuldstændig forståelse, som vi gør i 2D -rum, ved vi meget. Med denne viden kan fysikere og astronomer forsøge at bestemme, hvad 3D -rumfolk faktisk bor i.
Mens svaret ikke er helt kendt, er der mange spændende og overraskende muligheder. Valgmulighederne bliver endnu mere komplicerede, hvis du betragter tid som en dimension.
For at se, hvordan dette kan fungere, skal du bemærke, at for at beskrive placeringen af noget i rummet – siger en komet – har du brug for fire numre: tre for at beskrive dens position og en for at beskrive den tid, det er i denne position. Disse fire numre er det, der udgør en 4D -plads.
Nu kan du overveje, hvilke 4D -rum der er mulige, og i hvilke af de rum, du lever.
Topologi i højere dimensioner
På dette tidspunkt kan det se ud som om der ikke er nogen grund til at overveje rum, der har dimensioner større end fire, da det er den højeste tænkelige dimension, der måske beskriver vores univers. Men en gren af fysik kaldet strengteori antyder, at universet har mange flere dimensioner end fire.
Der er også praktiske anvendelser af at tænke på højere-dimensionelle rum, såsom robotbevægelsesplanlægning. Antag, at du prøver at forstå bevægelsen af tre robotter, der bevæger sig rundt i et fabriksgulv i et lager. Du kan lægge et gitter på gulvet og beskrive placeringen af hver robot ved deres X- og Y -koordinater på gitteret. Da hver af de tre robotter kræver to koordinater, har du brug for seks numre for at beskrive alle de mulige positioner for robotterne. Du kan fortolke robotternes mulige positioner som et 6D -rum.
Når antallet af robotter øges, øges rummets dimension. Faktorering i andre nyttige oplysninger, såsom placeringer af forhindringer, gør pladsen endnu mere kompliceret. For at studere dette problem skal du studere højdimensionelle rum.
Der er utallige andre videnskabelige problemer, hvor højdimensionelle rum vises, fra at modellere bevægelsen af planeter og rumfartøjer til at forsøge at forstå “form” af store datasæt.
Bundet i knob
En anden type problemer med topologer er, hvordan det ene rum kan sidde inde i et andet.
For eksempel, hvis du holder en knyttet sløjfe af streng, så har vi en 1D -plads (strengen af streng) inde i et 3D -rum (dit værelse). Sådanne sløjfer kaldes matematiske knob.
Undersøgelsen af knob voksede først ud af fysik, men er blevet et centralt topologiområde. De er vigtige for, hvordan forskere forstår 3D- og 4D -rum og har en dejlig og subtil struktur, som forskere stadig prøver at forstå.
Derudover har knob mange anvendelser, der spænder fra strengteori i fysik til DNA -rekombination i biologi til chiralitet i kemi.
Hvilken form lever du på?
Geometrisk topologi er et smukt og komplekst emne, og der er stadig utallige spændende spørgsmål at besvare om rum.
F.eks. Spørger den glatte 4D Poincaré-formodning, hvad det “enkleste” lukkede 4D-rum er, og skive-ribbon-formodningen sigter mod at forstå, hvordan knob i 3D-rum relaterer til overflader i 4D-rum.
Topologi er i øjeblikket nyttig i videnskab og teknik. At afsløre flere mysterier af rum i alle dimensioner vil være uvurderlige til at forstå den verden, hvor vi lever og løse problemer i den virkelige verden.