At opbygge den fulde værdi af PI har været et projekt tusinder af år i skabelsen, men hvor meget af dette uendelige nummer har vi faktisk brug for, spørger vores matematik -spaltist Jacob Aron
I årtusinder har matematikere fastgjort Pi
Hvem var den første person, der beregner PI? Den første person, der indser det, hænger på, når du deler omkredsen af en cirkel med dens diameter, ser du altid ud til at få det samme nummer, nemlig lidt mere end 3? Vi vil selvfølgelig aldrig vide nøjagtigt, men det er en rimelig antagelse, at de levede for omkring 4000 år siden.
Lad os starte med de gamle egyptere. En papyrus dateret til omkring 1550 f.Kr., der ser ud til at være en slags matematik -lærebog, giver eksempler på 84 matematiske problemer. Kendt af moderne lærde som Rhind matematisk papyrusdens forfatter, en skriftlærer ved navn Ahmose, gav den den strålende titel Kørselsvejledning til at kende alle mørke ting.
Problem 48 forklarer, hvordan man beregner området for en cirkel inden for en firkant. Hvis man antager, at pladsen har sider af længde 9, og cirkelens diameter er den samme, demonstrerer det, at cirkelområdet skal være 64/81. I betragtning af pladsen har et område på 81, der gør området i cirklen 64. Dette er ikke en direkte beregning af PI, men hvis vi tilslutter det til vores moderne formel til området for en cirkel – πr², hvor radius (R) er et halvt decimal, eller 9/2 i dette tilfælde – får vi π = 256/81 eller 3.16, hvilket er korrekt til et decimalt sted. Ikke dårligt.
Ahmose ser ikke ud til at være kommet med problemerne selv; Dokumentet siger, at det er en kopi fra en tekst, der stammer fra århundreder tidligere. Vi har fundet lignende, skønt ikke identiske, estimater i genstande fra de gamle babyloniere og sumerere, men det ser ud til, at sådanne beregninger ikke var universelle – den hebraiske bibel og til gengæld det kristne gamle testamente, beskriver en cirkulær pool som værende 10 alen bred og havde en omkreds på 30 kubits, hvilket antyder en værdi af 3 for pi. Det er en start.
Det var ikke før Archimedes, der boede i det 3. århundrede f.Kr., at vi begyndte at forbedre vores måling af PI. Mens Ahmose placerede en cirkel inde i en firkant for at beregne Pi, tog Archimedes en mere sofistikeret tilgang. Han satte sin cirkel inden for en hexagon og derefter en mindre hexagon i cirklen. Ved at beregne omkredsen af de to hexagoner kunne han placere en øvre og nedre grænse på cirkelens omkreds og så komme med et minimum og maksimal værdi for PI.
Men her er den smarte bit – Archimedes stoppede ikke med hexagoner. Han gjorde det samme trick med dodecagons eller 12-sidede polygoner, flyttede derefter til 24-sidet, 48-sidet og til sidst 96-sidede former. Hver fordobling af antallet af sider bragte polygonerne tættere på tilnærmelse af en cirkel, hvilket i sidste ende gav en værdi af PI mellem 223/71 og 22/7 eller 3.1408 og 3.1429. Nu havde vi to decimaler PI – og du kan muligvis genkende 22/7 som en almindelig tilnærmelse for dens værdi, der stadig bruges i dag.
I cirka 1500 år var Archimedes metode det eneste spil i byen, skønt folk formåede at øge nøjagtigheden af estimater for PI. Disse inkluderer den kinesiske matematiker Zu Chongzhi, der i det 5. århundrede e.Kr. brugte en 24.576-sidet polygon til at tilnærme PI mellem 3.1415926 og 3.1415927, og Jamshid al-Kashi, en persiske matematiker, der i 1424 beregnet PI til 16 decimale steder ved hjælp af en polygon med over 800 millioner sider. Al-Kashis mål på det tidspunkt var at være i stand til at beregne omkredsen af den himmelske sfære (i det væsentlige det kendte univers på det tidspunkt) med en fejl, der ikke er større end bredden af en enkelt hestehår.
Historier om matematik vil ofte springe lige fra Archimedes til det 17. århundrede opfindelse af Calculus, af Isaac Newton og Gottfried Leibniz, som det næste trin på vejen til PI, men en vigtig udvikling kom tidligere. Det 14. århundrede indiske matematiker Mādhava fra Sangamagrāma var den første til at udtrykke trigonometriske funktioner-som Cosine og sinus, som du måske kender som værktøjer til beregning af vinkler i en trekant-som uendelige sum. Dette gjorde det muligt for ham at beregne deres værdi trin for trin med stadigt stigende nøjagtighed ved at beregne det næste udtryk i serien.
En af disse summer, nu undertiden kendt som Mādhava-Leibniz-serien på grund af deres uafhængige opdagelser, siger det π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 … og så videre for uendelig. Denne serie konvergerer på PI, men utroligt langsomt – at nå fire decimaler kræver tilføjelse af 5000 valgperioder, mens 10 decimaler placerer 5 milliarder. Heldigvis udviklede Mādhava alternative uendelige summer, der fungerede meget hurtigere, computerpi til 11 decimaler-en rekord, indtil Al-Kashi slog den.
Pen-and-papir-udforskningen af PI fortsatte i de næste par århundreder. Et forsøg, der er værd at bemærke, er den tyske matematiker Ludolph Van Ceulen, der tilbragte det meste af sit liv på problemet. Han beregnet PI til 20 decimaler i 1596 ved hjælp af Archimedes metode med en polygon på mere end 32 milliarder sider, og i 1621, efter hans død, offentliggjorde hans kone detaljer om hans 35-decimal beregning ved hjælp af en polygon på mere end 4 kvintillion sider. Denne værdi blev også indskrevet på hans gravsten.
Ikke længe efter blev det klart, at Calculus virkelig var vejen frem, hvilket gav mulighed for oprettelse af alle mulige uendelige beløb til tilnærmelsesvis pi. I 1666 kom Newton med en og brugte den til at beregne Pi til 15 decimaler, senere skrivning, “Jeg skammer mig over at fortælle dig, hvor mange figurer jeg bar disse beregninger og havde ingen anden forretning på det tidspunkt.”
Den engelske matematiker John Machin blev den første til at bryde den 100-decimal barriere i 1706 ved hjælp af en sum af sin egen skabelse. Derefter blev disse uendelige sumbaserede beregninger i stigende grad fejlutsatte-den franske matematiker Thomas Fantet de Lagny offentliggjorde 127 decimalsteder i 1719 ved hjælp af en lignende metode til maskiner, men det viste sig, at kun de første 112 var korrekte. Rekorden sneg sig derefter op til 126 i 1789 og 152 i 1841, når fejl var blevet fjernet.
William Shanks, en amatørengelsk matematiker, var den sidste af blyantpushere til at snakke juice fra maskens formel. Shanks løb en internatskole, men viet sin fritid til beregning. I 1853 udgav han 530 decimaler PI, skønt de sidste tre var forkerte. Derefter udvidede han dette til 707 decimaler i 1873. Desværre havde han ikke hentet sin tidligere fejl, hvilket betyder, at de fleste af de ekstra cifre også var forkerte.
Ikke desto mindre ville Shanks’s 527-decimal rekord ikke blive slået før opfindelsen af computeren-ja, næsten. I 1946 skrev en DF Ferguson til tidsskriftet Natur at påpege fejlene i Shanks ‘beregninger. Dette førte til en flurry af papirer fra Ferguson i det spændende titlede tidsskrift Matematiske borde og andre hjælpemidler til beregning I hvilken han og John W. Wrench, Jr brugte en mekanisk lommeregner-en proto-computer, hvis du vil-til at beregne de korrekte værdier og til sidst nå 808 decimalsteder.
Den første beregning af PI på en ægte moderne computer blev udført ved hjælp af bogstaveligt talt den første nogensinde lavet – den elektroniske numeriske integrator og computer eller ENIAC. (Præcis hvorfor det kvalificerer sig som den første moderne computer er en helt separat artikel, så tag bare mit ord for det!)
En række soberopgaver blev bygget i 1945 af den amerikanske hær og blev brugt til en række nøgterne opgaver, herunder beregning af virkningerne af termonukleære våben. Men i 1949 fik et hold ledet af den anerkendte polymath John Von Neumann tilladelse til at bruge det til PI-baserede nummer knusning. Deres indsats, udført over 70 timer af den udvidede Labor Day weekend (når computeren ellers ikke ville blive brugt), ramte 2037 decimalsteder.
Efterhånden som computere skred frem, fortsatte de med at bryde poster – 100.000, 1 million, 10 millioner – men indtil 1970’erne brugte de alle varianter af maskinens metode.
I slutningen af det 20. århundrede blev der udviklet en flurry af nye formler, der hver brugte mere komplekse uendelige summer end maskinen, og mange blev inspireret af en uendelig sum, der blev drømt om af den legendariske indiske matematiker Srinivasa Ramanujan i 1910. Ramanujan’s tilgang til matematik var uundor årtier. Der er heller ingen registreringer af ham, der nogensinde har brugt det til at beregne nogen cifre af PI, hvilket måske har bidraget til, at det overses.
Når matematikere afslørede sit arbejde, var det imidlertid turboladet jakten på Pi. Af særlig note er en Ramanujan-inspireret metode oprettet i 1988 af to brødre, Gregory og David Chudnovsky, som var de første, der nåede 1 milliard decimaler.
Parets metode bruges stadig i dag; Den seneste rekord blev sat i juni 2024 af Storagereview, en computerhardware -testpublikation. Holdet siger, at det opnåede en rekord 202 billioner decimalsteder ved hjælp af en computer, der havde 28 solid state -drev, hver med en lagerkapacitet på over 60 terabyte (TB) – den gennemsnitlige computer har nu et enkelt drev på ca. 1 TB. Beregningen tog i alt 85 dage.
På dette tidspunkt kan du med rimelighed undre dig over, hvor meget mere pi nogen kunne have brug for. Der er et par tankeskoler. For enhver praktisk beregning var Al-Kashi ikke for langt væk fra mærket med sine 16 decimaler, som lidt mere end dobbelt så meget som-37 decimalsteder-viser sig at være nok til at beregne omkredsen af det observerbare univers med en nøjagtighed svarende til bredden af en hydrogenatom.
Men som Storagereviews forsøg viser, har beregning af Pi påtaget sig et andet formål: at fungere som en slags maratonnummer-crunch for at placere computerhardware gennem sine tempo. Med det i tankerne er der potentielt ingen grænse for antallet af decimaler, du måske har meningsfuldt beregnet.
Og alligevel er der en anden opfattelse. Jeg spurgte i begyndelsen af denne artikel, hvem den første person, der beregner Pi, var. På en måde er svaret ingen, fordi det aldrig er blevet gjort. PI er et irrationelt antal, hvilket betyder, at det ikke kan udtrykkes som forholdet mellem to heltal, hvilket er grunden til, at 22/7 kun nogensinde kan være en tilnærmelse. Det er også et transcendental tal, hvilket betyder, at det ikke kan udtrykkes som en endelig algebraisk ligning. Dette betyder, at PI i sagens natur er uendelig, dens decimale steder, der er uendelig, og vi kan aldrig fuldt ud beregne den sande værdi af PI.