Kan en enkelt matematisk ramme beskrive bevægelsen af en væske og de individuelle partikler inden i den? Dette spørgsmål, der først blev stillet i 1900, har nu en løsning, der kan hjælpe os med at forstå den komplekse opførsel af atmosfæren og oceanerne.
Forståelse af væsker kræver matematiske værktøjer, der fungerer i forskellige skalaer
Matematikere har endelig lykkedes at forene de fysiske love, der styrer bevægelserne af partikler i forskellige skalaer. Deres indsats løser et spørgsmål, der blev stillet af matematikeren David Hilbert i 1900 som en del af et ambitiøst program for alle matematikere i det 20. århundrede – og kunne uddybe vores forståelse af væskernes komplekse opførsel i atmosfæren og oceanerne.
”Dette er et vigtigt resultat i min opfattelse. Jeg troede, det var helt uden for rækkevidde, ”siger Benjamin Texier ved University of Lyon i Frankrig.
Specifikt har Zaher Hani ved University of Michigan og hans kolleger vist, hvordan man konsekvent og meningsfuldt sy sammen fysiske love på tre forskellige skalaer. For det første er der den mikroskopiske verden af enkeltpartikler, der kolliderer med hinanden i overensstemmelse med Isaac Newtons bevægelseslove. I den mesoskopiske verden af større genstande følger samlinger af sådanne partikler i stedet statistiske love, der er banebrydende af Ludwig Boltzmann. I den endnu større skala makroskopiske skala, hvor vi bor, vender fysikister sig til berygtet vanskelige matematiske værktøjer som Navier-Stokes-ligningen, der fanger alle de forviklinger, hvordan en væske opfører sig.
I årenes løb har fysikere og matematikere etableret nogle forbindelser mellem de tre rammer, men indtil nu var de aldrig fuldt ud forenet. Stræben efter at gøre det begyndte i det 19. århundrede, siger Hani, efter at Boltzmann præsenterede sine statistiske teknikker og hans samtidige klynkede for et strengt matematisk bevis på, at de faktisk arbejdede. Dette blev i sidste ende omdannet til det sjette problem på Hilberts dagsorden, der kræver en afledning af love, der dikterer væskernes opførsel fra de mest basale, bare-knogler matematiske aksiomer.
En af grundene til, at dette var så ønskeligt, er fordi nogle af disse love er reversible i tide, og nogle er ikke, siger teammedlem Yu Deng ved University of Chicago. For eksempel er Newtons love ikke følsomme over for tidsretningen, der gør “før” og “efter” udskiftelige, mens Boltzmanns statistiske ligninger antyder en måde at afgrænse de to på. Deng siger, at hans teams arbejde, der har været i gang i mere end et halvt årti, belyser hvornår og hvordan denne switch sker, hvilket eliminerer muligheden for et tidsrelateret matematisk paradoks.
En nøgleingrediens i holdets tilgang er afhængig af omarbejdning af beregninger med hensyn til diagrammer, som fysikeren Richard Feynman stammer fra, som brugte dem til at tackle problemer i kvantefeltteorien. Matematikere har lært at bruge disse diagrammer til at tackle vanskelige ligninger for partikler, der gentagne gange interagerer med hinanden, som forekommer i en flydende, men Hani siger, at dette kan blive overvældende. I stedet fandt teamet en måde at reducere antallet af diagrammer, de måtte beregne nøjagtigt, hvilket gjorde det muligt for dem at opbygge en klar matematisk sti fra Newtons love til Navier-Stokes-ligningen.
Texier siger, at selvom der er en lang historie med delvise løsninger på Hilberts sjette problem, er det nye værk et “rigtigt spring fremad”, der validerer både den måde, Hilbert stillede problemet og intuitionen bag Boltzmanns originale værk. Med andre ord: Det nye bevis bekræfter den måde, fysikere har tænkt på væsker og gasser i mere end et århundrede, mens de garanterer et fast matematisk fundament. Men Hani siger, at holdet ikke har lyst til, at deres arbejde lukker bogen om Hilberts søgen.
”Betydningen af (Hilberts sjette) problem er virkelig ikke kun med hensyn til at aksiomatisere fysikens love, men det er også med hensyn til at forstå konsekvenserne af disse (matematiske) modeller. Vi ved, at de bryder sammen på et tidspunkt. Jeg tror, at den moderne motivation for Hilberts (sjette) problem burde være med hensyn til at forstå, hvad der sker, når disse modeller bryder, ”siger han.
Deng siger, at han er især interesseret i, hvad der sker i den mindste, mest mikroskopiske skala, når de mere makroskopiske væsker ligninger udvikler singulariteter, med andre ord, når deres løsninger bliver meningsløse. Dette kan ske i en bred vifte af situationer inden for oceanografi og atmosfærisk videnskab, men forskerne kan nu være i stand til at få et nøjagtigt billede på grund af deres strenge forbindelse mellem de to skalaer.
For Texier er alle konsekvenserne af det nye værk endnu ikke klare, simpelthen fordi det er et så rigt og komplekst stykke matematik. ”Jeg tror, det vil tage en stor indsats for samfundet at fordøje det,” siger han.