Hvordan løser jeg en andengradsligning?

1. Hvordan ser en andengradsligning ud?

En andengradsligning skriver man altid ud fra denne form:

\(ax^2 + bx + c = 0\)

hvor det gælder, at \(a\) ikke må være 0. Det kan vi også skrive som \(a \ne 0\).

En andengradsligning ud fra formen vi lige har set, kan for eksempel se sådan ud:

\(2x^2 + 3x - 2 = 0\)

Lad og bruge ligningen ovenfor som det gennemgående eksempel.

2. Pluk a, b og c fra lignigen

Du kan nu plukke a, b og c ud af ligningen, ved at kigge på formen. Det er måske nemmere at forstå, hvordan du gør det, når du ser ser formen og ligningen stående op og ned ad hinanden som her:

\(ax^2 + bx + c = 0\) (formen)

\(2x^2 + 3x – 2 = 0\) (ligningen)

Vi plukker a, b og c:

\(a = 2\), \(b = 3\), \(c = -2\)

3. Find diskriminanten

En andengradsligning kan have nul, en eller to løsninger. Hvor mange løsninger ligningen har, fortæller den såkaldte diskriminant os.

Diskriminanten skrives også blot med bogstavet \(d\).

Du udregner diskriminanten, eller \(d\), med denne formel:

\(d = b^{2} - 4ac\)

\(4ac\) er det samme som \(4 * a * c\). Ydermere, \(b^{2}\), altså b i anden, er det samme som \(b * b\).

Nu indsætter du så de værdier for a, b og c, som vi fandt i punkt 2:

\(a = 2\), \(b = 3\), \(c = -2\)

i formlen:

\(d = b^{2} - 4ac = 3^2 - 4 * 2 * (-2) = 9 - (-16) = 9 + 16 = 25\)

Husk på at minus plus minus giver plus.

Reglen for diskriminanten er:

• hvis \(d > 0\) (d større end 0), så har ligningen 2 løsninger.
• hvis \(d = 0\), så har ligningen 1 løsning.
• hvis \(d < 0\) (d mindre end 0), så har ligningen 0 løsninger.

I vores eksempel, beregnede vi \(d\) til at være \(25\), så vores andengradsligning har 2 løsninger.

Bemærk: hvis du i en øvelse har beregnet \(d\) til at være mindre end 0, så er svaret, at der ikke findes nogen løsning på x, og øvelsen er færdig.

4. Find x'erne

Når du kender diskriminanten, og antallet af løsninger, kan du finde værdierne af x.

Du finder værdierne af x ud fra denne formel:

\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{d}}{2a}\)

Grunden til at der står \(\pm\) (plus/minus) i formlen er, at løsning nummer et regnes med plus, og løsning nummer 2, hvis der er sådan en, regnes med minus.

I vores eksempel blev \(d = 25\), og der findes derfor to løsninger.

a, b og c er tallene som vi fandt i punkt 1:

\(a = 2\), \(b = 3\), \(c = -2\)

Først findes x med plus (løsning 1):

\(x = \dfrac{-b + \sqrt{d}}{2a} = \dfrac{-3 + \sqrt {25}}{2 * 2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \)

Så findes x med minus (løsning 2):

\(x = \dfrac{-b - \sqrt{d}}{2a} = \dfrac{-3 - \sqrt {25}}{2 * 2} = \dfrac{-8}{4} = -2 \)

De to løsninger er derfor \(x = \dfrac{1}{2} \) og \(x = -2 \).

Hvis du har tid, så er det en rigtig god idé at gøre kontrol på den eller de værdier, du har fundet for x. På den måde kan du sikre dig, at du har regnet rigtigt. Du gør kontrol ved at indsætte x i andengradsligningen; resultatet skal så gerne give 0.