Hvad er sammensatte funktioner?

Sammensat funktion med eksempel

Idéen omkring en sammensat funktion forklares nemt med et lille tænkt eksempel. Lad os sige, at:

Vi vil lægge 5 til et tal og dernæst gange resultatet med 3.

Det kan vi opnå med de to funktioner nedenfor, idet vi først regner \(f\) og derefter indsætter resultatet i \(g\):

\(f(x) = x + 5\)
\(g(x) = 3x\)

Vi kan nu tage et vilkårligt tal - lad os prøve med tallet 2, og først indsætte det i stedet for \(x\) i \(f\):

\(f(2) = 2 + 5 = 7\)

Så indsætter vi resultatet i funktionen \(g\):

\(g(7) = 3 * 7 = 21\)

og får altså 21.

Det er naturligvis lidt tidskrævende, først at skulle regne \(f\), for så først derefter at kunne regne \(g\). Ville det ikke være smartere, om vi kunne sammensætte de to funktioner, og så spare en udregning?

Det kan vi gøre ved at sige, at \(f\) er en forudsætning for \(g\), som vist her:

\(g(f(x)) = 3 * f(x) = 3(x + 5) = 3x + 15\)

Lad os prøve det af med tallet 2, som vi brugte før:

\(g(f(2)) = 3 * f(2) = 3(2 + 5) = 3 * 2 + 15 = 6 + 15 = 21\)

Det ser rigtigt ud!

Nu hvor du har set, hvordan sammensatte funktioner ser ud, er det blevet tid til at tage et kig på bolle-notation,

Bolle-notation

En enklere og mere læsbar form at skrive sammensatte funktioner på, er med den såkaldte bolle-notation (\(\circ\)).

\(f(g(x))\) skrives med bolle-notation på denne måde \((f \circ g)(x)\).

Det læses som f-bolle-g af \(x\).

Alternativt \(g(f(x))\) som skrives \((g \circ f)(x)\), og læses g-bolle-f af \(x\).